Благодарим вас за посещение Nature.com. Вы используете версию браузера с ограниченной поддержкой CSS. Для оптимальной работы мы рекомендуем вам использовать обновленный браузер (или отключить режим совместимости в Internet Explorer). А пока, чтобы обеспечить постоянную поддержку, мы показываем сайт без стилей и JavaScript.
Конструкции из сэндвич-панелей широко используются во многих отраслях промышленности благодаря своим высоким механическим свойствам. Прослойка этих структур является очень важным фактором контроля и улучшения их механических свойств в различных условиях нагружения. Вогнутые решетчатые структуры являются отличными кандидатами для использования в качестве промежуточных слоев в таких многослойных структурах по нескольким причинам, а именно для настройки их эластичности (например, коэффициента Пуассона и значений упругой жесткости) и пластичности (например, высокой эластичности) для простоты. Свойства соотношения прочности и веса достигаются за счет корректировки только геометрических элементов, составляющих элементарную ячейку. Здесь мы исследуем реакцию на изгиб трехслойной сэндвич-панели с вогнутым сердечником, используя аналитические (т. е. теорию зигзага), вычислительные (т. е. метод конечных элементов) и экспериментальные тесты. Мы также проанализировали влияние различных геометрических параметров вогнутой решетчатой структуры (например, угла, толщины, отношения длины элементарной ячейки к высоте) на общее механическое поведение сэндвич-структуры. Мы обнаружили, что сердцевинные конструкции с ауксетическим поведением (т.е. с отрицательным коэффициентом Пуассона) демонстрируют более высокую прочность на изгиб и минимальное напряжение сдвига вне плоскости по сравнению с обычными решетками. Наши результаты могут проложить путь к разработке передовых многослойных структур с архитектурными решетчатыми ядрами для аэрокосмических и биомедицинских применений.
Благодаря своей высокой прочности и малому весу сэндвич-конструкции широко используются во многих отраслях промышленности, включая проектирование машиностроения и спортивного оборудования, морскую, аэрокосмическую и биомедицинскую технику. Вогнутые решетчатые структуры являются одним из потенциальных кандидатов на роль сердцевинных слоев в таких композитных структурах из-за их превосходной способности поглощать энергию и высокого соотношения прочности к весу1,2,3. В прошлом предпринимались большие усилия по разработке легких сэндвич-структур с вогнутыми решетками для дальнейшего улучшения механических свойств. Примеры таких конструкций включают нагрузки высокого давления в корпусах судов и амортизаторы в автомобилях4,5. Причина, по которой вогнутая решетчатая структура очень популярна, уникальна и подходит для строительства сэндвич-панелей, заключается в ее способности независимо настраивать ее эластомеханические свойства (например, упругую жесткость и сравнение по Пуассону). Одним из таких интересных свойств является ауксетичное поведение (или отрицательный коэффициент Пуассона), которое относится к поперечному расширению решетчатой структуры при растяжении в продольном направлении. Это необычное поведение связано с микроструктурным дизайном составляющих его элементарных клеток7,8,9.
Со времени первых исследований Лейкса по производству ауксетических пен были предприняты значительные усилия по разработке пористых структур с отрицательным коэффициентом Пуассона10,11. Для достижения этой цели было предложено несколько геометрий, таких как киральные, полужесткие и жесткие вращающиеся элементарные ячейки,12 все из которых демонстрируют ауксетическое поведение. Появление технологий аддитивного производства (АП, также известных как 3D-печать) также облегчило внедрение этих 2D или 3D ауксетических структур13.
Ауксетичное поведение обеспечивает уникальные механические свойства. Например, Лейкс и Элмс14 показали, что ауксетические пены имеют более высокий предел текучести, более высокую способность поглощать энергию удара и меньшую жесткость, чем обычные пены. Что касается динамических механических свойств ауксетических пен, они демонстрируют более высокое сопротивление при динамических разрушающих нагрузках и более высокое удлинение при чистом растяжении15. Кроме того, использование ауксетических волокон в качестве армирующих материалов в композитах улучшит их механические свойства16 и устойчивость к повреждениям, вызванным растяжением волокон17.
Исследования также показали, что использование вогнутых ауксетических структур в качестве основы изогнутых композитных конструкций может улучшить их характеристики вне плоскости, включая жесткость на изгиб и прочность18. Используя слоистую модель, также было замечено, что ауксетик может повысить прочность композитных панелей на излом19. Композиты с ауксетиковыми волокнами также предотвращают распространение трещин по сравнению с обычными волокнами20.
Чжан и др.21 смоделировали поведение динамических столкновений возвращающихся клеточных структур. Они обнаружили, что поглощение напряжения и энергии можно улучшить, увеличив угол ауксетичной элементарной ячейки, что приведет к получению решетки с более отрицательным коэффициентом Пуассона. Они также предположили, что такие ауксетические сэндвич-панели можно использовать в качестве защитных конструкций от ударных нагрузок с высокой скоростью деформации. Имбальцано и др.22 также сообщили, что ауксетические композитные листы могут рассеивать больше энергии (т.е. в два раза больше) за счет пластической деформации и снижать максимальную скорость на обратной стороне на 70% по сравнению с однослойными листами.
В последние годы большое внимание уделяется численным и экспериментальным исследованиям сэндвич-структур с ауксетиновым наполнителем. Эти исследования указывают на пути улучшения механических свойств этих сэндвич-структур. Например, рассмотрение достаточно толстого ауксетического слоя в качестве сердцевины сэндвич-панели может привести к более высокому эффективному модулю Юнга, чем у самого жесткого слоя23. Кроме того, с помощью алгоритма оптимизации можно улучшить изгибные характеристики ламинированных балок 24 или ауксетических сердечников 25. Существуют и другие исследования по механическим испытаниям сэндвич-конструкций с расширяемым сердечником при более сложных нагрузках. Например, испытания бетонных композитов с ауксетическими заполнителями на сжатие, сэндвич-панелей под взрывными нагрузками27, испытания на изгиб28 и низкоскоростные ударные испытания29, а также анализ нелинейного изгиба сэндвич-панелей с функционально дифференцированными ауксетическими заполнителями30.
Поскольку компьютерное моделирование и экспериментальные оценки таких конструкций часто отнимают много времени и средств, существует необходимость в разработке теоретических методов, которые могут эффективно и точно предоставить информацию, необходимую для проектирования многослойных структур ауксетического ядра в условиях произвольной нагрузки. разумное время. Однако современные аналитические методы имеют ряд ограничений. В частности, эти теории недостаточно точны для прогнозирования поведения относительно толстых композитных материалов и для анализа композитов, состоящих из нескольких материалов с сильно различающимися упругими свойствами.
Поскольку эти аналитические модели зависят от приложенных нагрузок и граничных условий, здесь мы сосредоточимся на изгибном поведении сэндвич-панелей с ауксетическим заполнителем. Эквивалентная теория одного слоя, используемая для такого анализа, не может правильно предсказать сдвиговые и осевые напряжения в сильно неоднородных ламинатах в сэндвич-композитах средней толщины. Более того, в некоторых теориях (например, в слоистой теории) количество кинематических переменных (например, перемещение, скорость и т. д.) сильно зависит от количества слоев. Это означает, что поле движения каждого слоя можно описать независимо, удовлетворяя при этом определенным физическим ограничениям непрерывности. Следовательно, это приводит к учету большого количества переменных в модели, что делает данный подход вычислительно дорогостоящим. Чтобы преодолеть эти ограничения, мы предлагаем подход, основанный на теории зигзагов, определенном подклассе многоуровневой теории. Теория обеспечивает непрерывность напряжения сдвига по всей толщине ламината, предполагая зигзагообразную картину смещений в плоскости. Таким образом, теория зигзага дает одинаковое количество кинематических переменных независимо от количества слоев в ламинате.
Чтобы продемонстрировать возможности нашего метода в прогнозировании поведения сэндвич-панелей с вогнутыми сердечниками при изгибающих нагрузках, мы сравнили наши результаты с классическими теориями (т.е. с нашим подходом с вычислительными моделями (т.е. конечными элементами) и экспериментальными данными (т.е. трехточечный изгиб 3D-печатные сэндвич-панели). С этой целью мы сначала вывели соотношение смещения на основе теории зигзага, а затем получили материальные уравнения с использованием принципа Гамильтона и решили их с помощью метода Галеркина. Полученные результаты являются мощным инструментом для проектирования соответствующих сэндвич-панелей. геометрические параметры сэндвич-панелей с ауксептическими наполнителями, облегчающие поиск конструкций с улучшенными механическими свойствами.
Рассмотрим трехслойную сэндвич-панель (рис. 1). Геометрические параметры расчета: толщина верхнего слоя \({h}_{t}\), среднего слоя \({h}_{c}\) и нижнего слоя \({h}_{ b }\). Мы предполагаем, что структурное ядро представляет собой ямчатую решетчатую структуру. Структура состоит из элементарных ячеек, упорядоченно расположенных рядом друг с другом. Изменяя геометрические параметры вогнутой конструкции, можно изменить ее механические свойства (т. е. значения коэффициента Пуассона и упругой жесткости). Геометрические параметры элементарной ячейки показаны на рис. 1, включая угол (θ), длину (h), высоту (L) и толщину колонны (t).
Теория зигзага обеспечивает очень точные прогнозы поведения напряжений и деформаций слоистых композитных структур умеренной толщины. Структурное смещение в теории зигзага состоит из двух частей. В первой части показано поведение сэндвич-панели в целом, а во второй части рассматривается поведение между слоями для обеспечения непрерывности напряжения сдвига (или так называемой функции зигзага). Кроме того, элемент зигзага исчезает на внешней поверхности ламината, а не внутри этого слоя. Таким образом, функция зигзага гарантирует, что каждый слой вносит свой вклад в общую деформацию поперечного сечения. Это важное отличие обеспечивает более реалистичное физическое распределение функции зигзага по сравнению с другими функциями зигзага. Текущая модифицированная зигзагообразная модель не обеспечивает непрерывность напряжения поперечного сдвига вдоль промежуточного слоя. Поэтому поле смещений, основанное на теории зигзага, можно записать следующим образом31.
в уравнении. (1), k=b, c и t представляют нижний, средний и верхний слои соответственно. Поле перемещений средней плоскости вдоль декартовой оси (x, y, z) равно (u, v, w), а изгибное вращение в плоскости вокруг оси (x, y) равно \({\uptheta} _ {x}\) и \ ({\uptheta}_{y}\). \({\psi}_{x}\) и \({\psi}_{y}\) — пространственные величины зигзагообразного вращения, а \({\phi}_{x}^{k}\ left ( z \right)\) и \({\phi}_{y}^{k}\left(z\right)\) являются зигзагообразными функциями.
Амплитуда зигзага является векторной функцией фактической реакции пластины на приложенную нагрузку. Они обеспечивают соответствующее масштабирование функции зигзага, тем самым контролируя общий вклад зигзага в смещение в плоскости. Деформация сдвига по толщине пластины состоит из двух составляющих. Первая часть представляет собой угол сдвига, равномерный по толщине ламината, а вторая часть представляет собой кусочно-постоянную функцию, равномерную по толщине каждого отдельного слоя. В соответствии с этими кусочно-постоянными функциями зигзагообразную функцию каждого слоя можно записать как:
в уравнении. (2), \({c}_{11}^{k}\) и \({c}_{22}^{k}\) — константы упругости каждого слоя, а h — общая толщина диск. Кроме того, \({G}_{x}\) и \({G}_{y}\) — это средневзвешенные коэффициенты жесткости при сдвиге, выраженные как 31:
Две зигзагообразные амплитудные функции (уравнение (3)) и оставшиеся пять кинематических переменных (уравнение (2)) теории сдвиговой деформации первого порядка составляют набор из семи кинематик, связанных с этой модифицированной переменной теории зигзагообразных пластин. Предполагая линейную зависимость деформации и учитывая теорию зигзага, поле деформации в декартовой системе координат можно получить как:
где \({\varepsilon}_{yy}\) и \({\varepsilon}_{xx}\) — нормальные деформации, а \({\gamma}_{yz},{\gamma}_{xz} \ ) и \({\gamma}_{xy}\) — сдвиговые деформации.
Используя закон Гука и учитывая теорию зигзага, связь между напряжением и деформацией ортотропной пластины с вогнутой решетчатой структурой можно получить из уравнения (1). (5)32 где \({c}_{ij}\) — упругая постоянная матрицы напряжений-деформаций.
где \({G}_{ij}^{k}\), \({E}_{ij}^{k}\) и \({v}_{ij}^{k}\) разрезаны сила – это модуль упругости в разных направлениях, модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Эти коэффициенты для изотопного слоя одинаковы во всех направлениях. Кроме того, для возвращающихся ядер решетки, как показано на рис. 1, эти свойства можно переписать как 33.
Применение принципа Гамильтона к уравнениям движения многослойной пластины с вогнутым решетчатым ядром дает основные уравнения расчета. Принцип Гамильтона можно записать так:
Среди них δ представляет собой вариационный оператор, U представляет потенциальную энергию деформации, а W представляет работу, совершаемую внешней силой. Полная потенциальная энергия деформации находится с помощью уравнения. (9), где A — область срединной плоскости.
Предполагая равномерное приложение нагрузки (p) в направлении z, работу внешней силы можно найти по следующей формуле:
Замена уравнения Уравнения (4) и (5) (9) и замена уравнения. (9) и (10) (8) и интегрируя по толщине пластины, уравнение: (8) можно переписать как:
Индекс \(\phi\) представляет зигзагообразную функцию, \({N}_{ij}\) и \({Q}_{iz}\) — силы, действующие в плоскости и за ее пределами, \({M} _{ij }\) представляет собой изгибающий момент, а формула расчета выглядит следующим образом:
Применение интегрирования по частям к уравнению. Подставив в формулу (12) и рассчитав коэффициент вариации, определяющее уравнение сэндвич-панели можно получить в виде формулы (12). (13).
Дифференциальные уравнения управления свободно опертой трехслойной пластиной решаются методом Галёркина. В предположении квазистатических условий неизвестная функция рассматривается как уравнение: (14).
\({u}_{m,n}\), \({v}_{m,n}\), \({w}_{m,n}\),\({{\uptheta}_ {\mathrm {x}}}_{\mathrm {m} \text{,n}}\),\({{\uptheta }_{\mathrm {y}}}_{\mathrm {m} \text {,n}}\), \({{\uppsi}_{\mathrm{x}}}_{\mathrm{m}\text{,n}}\) и \({{\uppsi}_{ \mathrm{y}}}_{\mathrm{m}\text{,n}}\) — неизвестные константы, которые можно получить путем минимизации ошибки. \(\overline{\overline{u}} \left({x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{v}} \left({x{\text {,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{w}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline {{{\uptheta}_{x}}}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{{{\uptheta}_{y} }}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{{\psi_{x}}}} \left( {x{\text{, y}}} \right)\) и \(\overline{\overline{{ \psi_{y} }}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\) являются проверочными функциями, которая должна удовлетворять минимально необходимым граничным условиям. Для только что поддерживаемых граничных условий тестовую функцию можно пересчитать как:
Замена уравнений дает алгебраические уравнения. (14) к основным уравнениям, что может привести к получению неизвестных коэффициентов в уравнении (14). (14).
Мы используем моделирование методом конечных элементов (МКЭ) для компьютерного моделирования изгиба свободно опирающейся сэндвич-панели с вогнутой решетчатой структурой в качестве сердцевины. Анализ проводился в коммерческой конечно-элементной программе (например, Abaqus версии 6.12.1). Трехмерные шестигранные твердые элементы (C3D8R) с упрощенным интегрированием использовались для моделирования верхнего и нижнего слоев, а линейные тетраэдрические элементы (C3D4) использовались для моделирования промежуточной (вогнутой) структуры решетки. Мы провели анализ чувствительности сетки, чтобы проверить сходимость сетки, и пришли к выводу, что результаты смещения сходятся при наименьшем размере объекта среди трех слоев. Сэндвич-плита нагружается с использованием функции синусоидальной нагрузки с учетом свободно опирающихся граничных условий на четырех краях. Линейно-упругое механическое поведение рассматривается как модель материала, присвоенная всем слоям. Особого контакта между слоями нет, они связаны между собой.
Мы использовали методы 3D-печати для создания нашего прототипа (т. е. сэндвич-панели с тройной печатью из ауксетика) и соответствующей специальной экспериментальной установки для применения аналогичных условий изгиба (равномерная нагрузка p вдоль направления z) и граничных условий (т. е. просто поддерживается). предполагается в нашем аналитическом подходе (рис. 1).
Сэндвич-панель, напечатанная на 3D-принтере, состоит из двух обшивок (верхней и нижней) и вогнутого решетчатого сердечника, размеры которого приведены в Таблице 1, и изготовлена на 3D-принтере Ultimaker 3 (Италия) методом напыления ( ФДМ). в процессе используется технология. Мы напечатали на 3D-принтере базовую пластину и основную структуру ауксетической решетки вместе, а верхний слой напечатали отдельно. Это помогает избежать каких-либо осложнений при удалении поддержки, если необходимо распечатать весь дизайн сразу. После 3D-печати две отдельные детали склеиваются суперклеем. Мы напечатали эти компоненты с использованием полимолочной кислоты (PLA) с самой высокой плотностью заполнения (т. е. 100%), чтобы предотвратить любые локализованные дефекты печати.
Специальная система зажима имитирует те же простые граничные условия опоры, принятые в нашей аналитической модели. Это означает, что система захвата предотвращает перемещение доски по ее краям в направлениях x и y, позволяя этим краям свободно вращаться вокруг осей x и y. Это делается путем рассмотрения галтелей радиусом r = h/2 на четырех краях системы захвата (рис. 2). Эта система зажима также обеспечивает полную передачу приложенной нагрузки от испытательной машины на панель и ее выравнивание по центральной линии панели (рис. 2). Для печати системы захвата мы использовали технологию многоструйной 3D-печати (ObjetJ735 Connex3, Stratasys® Ltd., США) и жесткие коммерческие смолы (например, серия Vero).
Принципиальная схема индивидуальной захватной системы, напечатанной на 3D-принтере, и ее сборка с сэндвич-панелью, напечатанной на 3D-принтере, с ауксетическим сердечником.
Мы проводим испытания на квазистатическое сжатие с управлением движением на механическом испытательном стенде (Lloyd LR, датчик нагрузки = 100 Н) и собираем машинные усилия и перемещения с частотой выборки 20 Гц.
В этом разделе представлено численное исследование предлагаемой сэндвич-структуры. Будем считать, что верхний и нижний слои выполнены из углеродной эпоксидной смолы, а решетчатая структура вогнутого ядра – из полимера. Механические свойства материалов, использованных в данном исследовании, приведены в таблице 2. Кроме того, в таблице 3 приведены безразмерные соотношения результатов перемещений и полей напряжений.
Максимальное вертикальное безразмерное перемещение равномерно нагруженной свободно опертой пластины сравнивалось с результатами, полученными разными методами (табл. 4). Существует хорошее согласие между предложенной теорией, методом конечных элементов и экспериментальными проверками.
Мы сравнили вертикальное смещение модифицированной теории зигзага (RZT) с трехмерной теорией упругости (Пагано), теорией сдвиговой деформации первого порядка (FSDT) и результатами МКЭ (см. рис. 3). Наиболее сильно отличается от упругого решения теория сдвига первого порядка, основанная на диаграммах перемещений толстых многослойных пластин. Однако модифицированная теория зигзагов предсказывает очень точные результаты. Кроме того, мы также сравнили напряжение сдвига вне плоскости и нормальное напряжение в плоскости различных теорий, среди которых теория зигзага получила более точные результаты, чем FSDT (рис. 4).
Сравнение нормализованной вертикальной деформации, рассчитанной с использованием различных теорий при y = b/2.
Изменение напряжения сдвига (а) и нормального напряжения (б) по толщине сэндвич-панели, рассчитанное с использованием различных теорий.
Далее мы проанализировали влияние геометрических параметров элементарной ячейки с вогнутой сердцевиной на общие механические свойства сэндвич-панели. Угол элементарной ячейки является наиболее важным геометрическим параметром при проектировании структур возвратной решетки34,35,36. Поэтому мы рассчитали влияние угла элементарной ячейки, а также толщины снаружи ядра на общий прогиб пластины (рис. 5). С увеличением толщины промежуточного слоя максимальный безразмерный прогиб уменьшается. Относительная прочность на изгиб увеличивается для более толстых слоев сердцевины и при \(\frac{{h}_{c}}{h}=1\) (т.е. когда имеется один вогнутый слой). Наименьшие смещения имеют сэндвич-панели с ауксетичной элементарной ячейкой (т.е. \(\theta =70^\circ\)) (рис. 5). Это показывает, что прочность на изгиб ауксетического сердечника выше, чем у обычного ауксетического сердечника, но он менее эффективен и имеет положительный коэффициент Пуассона.
Нормализованное максимальное отклонение вогнутого стержня решетки с разными углами элементарной ячейки и толщиной вне плоскости.
Толщина сердцевины ауксетичной решетки и соотношение сторон (т.е. \(\theta=70^\circ\)) влияют на максимальное смещение сэндвич-пластины (рис. 6). Видно, что максимальный прогиб пластины увеличивается с увеличением h/l. Кроме того, увеличение толщины ауксетичного ядра снижает пористость вогнутой конструкции, тем самым увеличивая прочность конструкции на изгиб.
Максимальные прогибы сэндвич-панелей обусловлены решетчатыми конструкциями с ауксетичной сердцевиной различной толщины и длины.
Исследование полей напряжений — интересная область, которую можно исследовать, изменяя геометрические параметры элементарной ячейки, для изучения режимов разрушения (например, расслоения) многослойных структур. Коэффициент Пуассона оказывает большее влияние на поле неплоских сдвиговых напряжений, чем нормальное напряжение (см. рис. 7). Кроме того, этот эффект неоднороден в разных направлениях из-за ортотропных свойств материала этих решеток. Другие геометрические параметры, такие как толщина, высота и длина вогнутых структур, мало влияли на поле напряжений, поэтому в данной работе не анализировались.
Изменение составляющих сдвиговых напряжений в разных слоях сэндвич-панели с решетчатым заполнителем с разными углами вогнутости.
Здесь с помощью теории зигзага исследуется прочность на изгиб свободно опертой многослойной пластины с вогнутым решетчатым сердечником. Предложенная формулировка сравнивается с другими классическими теориями, включая трехмерную теорию упругости, теорию сдвиговой деформации первого порядка и МКЭ. Мы также проверяем наш метод, сравнивая наши результаты с экспериментальными результатами на сэндвич-структурах, напечатанных на 3D-принтере. Наши результаты показывают, что теория зигзага способна предсказать деформацию сэндвич-структур умеренной толщины под действием изгибающих нагрузок. Кроме того, проанализировано влияние геометрических параметров вогнутой решетчатой конструкции на поведение сэндвич-панелей при изгибе. Результаты показывают, что по мере увеличения уровня ауксетика (т.е. θ <90) прочность на изгиб увеличивается. Кроме того, увеличение соотношения сторон и уменьшение толщины сердцевины снизит прочность сэндвич-панели на изгиб. Наконец, изучено влияние коэффициента Пуассона на напряжение сдвига вне плоскости и подтверждено, что коэффициент Пуассона оказывает наибольшее влияние на напряжение сдвига, создаваемое толщиной ламинированной пластины. Предложенные формулы и выводы могут открыть путь к проектированию и оптимизации многослойных конструкций с вогнутыми решетчатыми наполнителями в более сложных условиях нагружения, необходимых для проектирования несущих конструкций в аэрокосмической и биомедицинской технике.
Наборы данных, использованные и/или проанализированные в текущем исследовании, можно получить у соответствующих авторов по обоснованному запросу.
Актай Л., Джонсон А.Ф. и Креплин Б.Х. Численное моделирование характеристик разрушения сотовых заполнителей. инженер. фрактал. шерсть. 75(9), 2616–2630 (2008).
Гибсон Л.Дж. и Эшби М.Ф. Пористые твердые тела: структура и свойства (Издательство Кембриджского университета, 1999).
Время публикации: 12 августа 2023 г.